Analyse en Composantes Principales

Note

Twitch du 10 janvier 2023.
Code disponible sur GitHub.

Analyse factorielle

Si l’analyse factorielle dont l’ACP fait partie commence son histoire avec la parution de l’article de Karl Pearson On lines and planes of closest fit to systems of points in space dans Philosophical Magazine, c’est le développement de l’informatique qui lui permet de prendre son essor.
C’est une équipe française menée par Jean-Paul Benzécri qui a mis au point l’analyse factorielle des correspondances dans les années 1960.
Incontournable dans de nombreux domaines, elle permet de réduire le nombre de variables, de connaître les liens entre les variables et/ou les individus, de qualifier des groupes d’individus.

Elle est particulièrement utilisée en France.

Les analyses factorielles se réalisent toujours sur un jeu de données rectangulaire avec les individus en lignes (k lignes) et les mesures en colonnes (n colonnes).

Warning

Une seule ligne par individus !

Les k individus sont vus dans n dimensions.

3 grands types d’analyses factorielles :
_ ACP, Analyse en Composantes Principales : que des variables quantitatives
_ AF(D)M, Analyse Factorielle (des Données) Mixtes : variables quantitatives et qualitatives
_ A(F)CM, Analyse (Factorielle) des Correspondances Multiples : variables qualitatives uniquement

Les données : les pingouins de Palmer

Jeu de données extrait du package {palmerpenguins} qui est une alternative au jdd iris

library(palmerpenguins)
library(tidyverse)
library(tourr)

penguins

# A tibble: 344 × 8
   species island    bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
   <fct>   <fct>              <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
 1 Adelie  Torgersen           39.1          18.7               181        3750
 2 Adelie  Torgersen           39.5          17.4               186        3800
 3 Adelie  Torgersen           40.3          18                 195        3250
 4 Adelie  Torgersen           NA            NA                  NA          NA
 5 Adelie  Torgersen           36.7          19.3               193        3450
 6 Adelie  Torgersen           39.3          20.6               190        3650
 7 Adelie  Torgersen           38.9          17.8               181        3625
 8 Adelie  Torgersen           39.2          19.6               195        4675
 9 Adelie  Torgersen           34.1          18.1               193        3475
10 Adelie  Torgersen           42            20.2               190        4250
# ℹ 334 more rows
# ℹ 2 more variables: sex <fct>, year <int>

pingouin <- penguins %>% 
  select(- sex) %>% 
  drop_na()

pingouin %>% 
  count(species, island)

# A tibble: 5 × 3
  species   island        n
  <fct>     <fct>     <int>
1 Adelie    Biscoe       44
2 Adelie    Dream        56
3 Adelie    Torgersen    51
4 Chinstrap Dream        68
5 Gentoo    Biscoe      123

pingouin %>% 
  group_by(species) %>% 
  summarize(
    across(where(is.numeric),
            mean
    )
  ) %>% 
  ungroup()

# A tibble: 3 × 6
  species   bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g  year
  <fct>              <dbl>         <dbl>             <dbl>       <dbl> <dbl>
1 Adelie              38.8          18.3              190.       3701. 2008.
2 Chinstrap           48.8          18.4              196.       3733. 2008.
3 Gentoo              47.5          15.0              217.       5076. 2008.

animate(
  data = pingouin %>% 
    select(-island, -species),
  display = display_xy(col = pingouin$species)
)

Visualisation en utilisant le package {tourr} qui permet de visuliser le nuage des k individus dans les n dimensions, ici 342 pingouins dans 5 dimensions.

ACP sans variables supplémentaires

Utilisation du package {FactoMineR} pour réaliser les analyses factorielles.

library(FactoMineR)

acp_simple <- pingouin %>% 
  select(- species, - island) %>% 
  PCA()

acp_simple$eig

       eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
comp 1 2.77008681              55.401736                          55.40174
comp 2 0.99348866              19.869773                          75.27151
comp 3 0.77191746              15.438349                          90.70986
comp 4 0.36520940               7.304188                          98.01405
comp 5 0.09929767               1.985953                         100.00000

dimdesc(acp_simple)

$Dim.1

Link between the variable and the continuous variables (R-square)
=================================================================================
                  correlation       p.value
flipper_length_mm   0.9585908 1.552310e-187
body_mass_g         0.9054051 1.493199e-128
bill_length_mm      0.7526986  1.089066e-63
year                0.1592763  3.140610e-03
bill_depth_mm      -0.6629540  1.173808e-44

$Dim.2

Link between the variable and the continuous variables (R-square)
=================================================================================
            correlation       p.value
year          0.9856765 6.531669e-265
body_mass_g  -0.1110509  4.011874e-02

$Dim.3

Link between the variable and the continuous variables (R-square)
=================================================================================
               correlation      p.value
bill_depth_mm    0.7027357 3.289288e-52
bill_length_mm   0.5208740 3.532738e-25

library(factoextra)
fviz_screeplot(acp_simple, addlabels = TRUE)

ACP avec species et island comme variables supplémentaires

acp <- PCA(
  X = pingouin %>% 
    select(-island),
  quali.sup = 1
)

plot.PCA(acp, choix = "ind", habillage = 1)

acp_annee <-
  PCA(
    X = pingouin %>% select(-island),
    quali.sup = 1,
    quanti.sup = 6
  )

acp_annee$eig

       eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
comp 1  2.7537551              68.843878                          68.84388
comp 2  0.7725168              19.312919                          88.15680
comp 3  0.3652359               9.130898                          97.28769
comp 4  0.1084922               2.712305                         100.00000

plot.PCA(acp_annee, choix = "ind", habillage = 1)

plotellipses(acp_annee, keepvar = "species", label = "none")

Remplacement des valeurs manquantes

Utilisation du package missMDA pour le remplacement des valeurs manquantes (uniquement numériques ici).

penguins %>% 
  filter(is.na(bill_depth_mm))

# A tibble: 2 × 8
  species island    bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
  <fct>   <fct>              <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
1 Adelie  Torgersen             NA            NA                NA          NA
2 Gentoo  Biscoe                NA            NA                NA          NA
# ℹ 2 more variables: sex <fct>, year <int>

pingouin_vm <- penguins %>% 
  select(bill_length_mm:body_mass_g, year)

library(missMDA)
n <- estim_ncpPCA(pingouin_vm)

pingouin_vm_complete <- MIPCA(pingouin_vm, ncp = n$ncp)

Pour afficher les graphiques, il faut utiliser la fonction plot.MIPCA().

Pour obtenir un jeu de données complet, il suffit de concatener les colonnes non utilisées et celles complétées.

pingouin_complete <- 
  bind_cols(
    penguins %>% select(species, island),
    pingouin_vm_complete[["res.imputePCA"]]
  )